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1. 行内公式 $...$

质能方程 $E = mc^2$ 是物理学中最著名的公式之一。勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 在直角三角形中恒成立。

当 $x \to 0$ 时，$\sin x \approx x$，而 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$。

欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 被誉为最优美的数学公式。

2. 公式块 $$...$$

2.1 高斯积分

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$$

2.2 二次方程求根公式

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

2.3 矩阵与求和

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

2.4 麦克斯韦方程组

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}$$

3. Mermaid 图表

3.1 流程图

flowchart TD
    A[开始] --> B{条件判断}
    B -->|是| C[执行操作 A]
    B -->|否| D[执行操作 B]
    C --> E[结束]
    D --> E

3.2 时序图

sequenceDiagram
    participant U as 用户
    participant S as 服务器
    participant DB as 数据库
    U->>S: 发起请求
    S->>DB: 查询数据
    DB-->>S: 返回结果
    S-->>U: 响应数据

3.3 甘特图

gantt
    title 项目进度计划
    dateFormat  YYYY-MM-DD
    section 设计阶段
    需求分析       :a1, 2024-01-01, 7d
    原型设计       :a2, after a1, 5d
    section 开发阶段
    前端开发       :b1, after a2, 10d
    后端开发       :b2, after a2, 12d
    section 测试阶段
    集成测试       :c1, after b2, 5d

3.4 类图

classDiagram
    class Animal {
        +String name
        +int age
        +makeSound() void
    }
    class Dog {
        +fetch() void
    }
    class Cat {
        +scratch() void
    }
    Animal <|-- Dog
    Animal <|-- Cat

3.5 饼图

pie title 编程语言使用占比
    "Python" : 40
    "JavaScript" : 30
    "Java" : 20
    "其他" : 10

4. 综合示例：公式 + 图表

考虑一个简单的线性回归模型，其损失函数为：

$$L(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} \left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)^2$$

其中 $h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x$。训练流程如下：

flowchart LR
    A[初始化参数 θ] --> B[计算预测值 h_θ]
    B --> C[计算损失 L]
    C --> D[计算梯度]
    D --> E[更新参数]
    E --> F{收敛?}
    F -->|否| B
    F -->|是| G[输出模型]

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测试说明：以上内容涵盖了行内公式、多行公式块（含矩阵、求和、积分、偏微分、对齐环境）以及 5 种 Mermaid 图表类型，可用于检验渲染器的数学公式与图表支持能力。